5 paradoxes qui retournent le cerveau

Mains se dessinant (M.C. ESCHER,1948)

Problèmes logiques, impossibilités scientifiques, énigmes philosophiques… Les anomalies intellectuelles que sont les paradoxes ont toujours défié la raison des hommes. Ces 5 exemples sont tous déroutants à leur manière, en cas de crampe neuronale faites une pause avant de passer au suivant !

Le paradoxe du pendu :

Paradoxe du penduUn juge déclare à un condamné à mort qu’il sera pendu lors d’une matinée de la semaine suivante, mais que le jour de l’exécution sera une surprise totale pour le pauvre homme. Il ne connaitra le jour de sa pendaison que le matin ou le bourreau viendra frapper à sa porte, sa seule certitude étant que les pendaisons n’ont pas lieu le week-end. De retour dans sa cellule, le prisonnier réfléchit à sa sentence : il commence par se dire que la « pendaison surprise » ne pourra avoir lieu le vendredi, car s’il survit tous les jours de la semaine jusqu’au jeudi soir, il ne restera plus que le vendredi pour l’exécution. Et dans ce cas, ça ne sera pas une surprise. Il se dit ensuite que la pendaison ne pourra pas avoir lieu le jeudi non plus, car s’il est encore vivant mercredi soir, le vendredi étant éliminé d’office, il ne restera plus que le jeudi. Et par conséquent l’exécution ne sera toujours pas une surprise. En suivant cette même logique, le prisonnier élimine également le mercredi, le mardi et le lundi. Rassuré, il en déduit que la sentence ne sera jamais exécutée. La semaine suivante, le bourreau vient frapper à la porte du condamné le mercredi matin, ce qui, malgré toutes les réflexions de ce dernier, reste effectivement une surprise totale. Le juge avait raison. Ce paradoxe, en apparence simple, a divisé les écoles de pensée. Encore aujourd’hui, il n’a pas de solution clairement établie.

Le paradoxe du faux positif :

Prise de sangUne maladie mortelle fait son apparition, qui touche une personne sur 10000. Inquiet, vous décidez de passer un test de dépistage. Votre médecin vous assure que le test est fiable à 99%. Une semaine après la prise de sang, vous recevez les résultats : ils sont positifs. Désespéré, vous pensez en toute logique que vous êtes condamné, avec une certitude de 99%. Cependant, et heureusement pour vous, les probabilités produisent parfois des résultats contre-intuitifs : en réalité, vous avez 1% de chances d’être réellement malade. Comment est-ce possible ? Imaginons qu’un million de personnes fasse le test. La maladie touche une personne sur 10000. Il y aura donc 100 personnes contaminées. Sur ces 100 personnes, 99 seront correctement diagnostiquées positives, et une personne sera dans l’erreur, puisque le test à une fiabilité de 99%. Maintenant, sur les 999 900 personnes qui ne seront pas touchées par la maladie, il y aura toujours 1% de faux diagnostics, mais ce 1% représente ici 9999 personnes. Par conséquent, en recevant un résultat positif, vous avez 100 fois plus de chances de faire partie des 9999 personnes victimes d’un faux diagnostic, que des 99 correctement diagnostiquées. Les chiffres peuvent se révéler dramatiquement trompeurs, pensez-y la prochaine fois que vous entendrez des statistiques sortir de la bouche d’un homme politique.

Le paradoxe de Monty Hall

Monty HallImaginez que vous soyez dans un jeu télévisé, où l’on vous demande de choisir entre trois portes. Derrière une des portes, il y a une voiture. Derrière les deux autres, il y a des chèvres. Les règles du jeu sont les suivantes : une fois que vous avez choisi une porte, on ne l’ouvre pas tout de suite. L’animateur du jeu, Monty Hall, qui sait ce qui se trouve derrière les portes, doit ouvrir une des deux portes restantes. S’il reste la voiture et une chèvre, Monty le sait, et il ouvre la porte qui cache une chèvre. S’il reste les deux chèvres, Monty ouvre une des deux portes, indifféremment. Après avoir ouvert sa porte, qui donne donc dans tous les cas sur une chèvre, Monty vous demande si vous restez sur votre choix de départ, ou si vous préférez changer et ouvrir la dernière porte restante. Par exemple, vous choisissez au départ la porte A. Monty ouvre la porte C, qui cachait une chèvre. Est-il dans votre intêret de rester sur votre premier choix, ou de changer pour la porte B ?

Normalement, il semble logique de penser que les deux portes ont exactement les mêmes chances de cacher la voiture, par conséquent il n’y a aucun intérêt à changer son choix initial. Mais en réalité, et même si ça semble incompréhensible, il faut toujours changer : quand il fait son premier choix, le joueur a une chance sur trois de tomber sur la voiture. Il y a donc deux chances sur trois pour que la voiture se trouve derrière une des deux autres portes. Lorsque Monty dévoile une des deux mauvaises portes, les probabilités ne changent pas : il y a toujours une chance sur trois pour que le choix initial soit le bon, et deux chances sur trois pour que la porte restante cache la voiture. Changer multiplie donc les chances de trouver la voiture par deux. Pour ceux qui ont du mal à accepter cette réalité particulièrement contre-intuitive, il est parfois plus clair d’imaginer 100 portes au lieu de 3. Dans ce cas, il y a 99 portes derrière lesquelles se trouvent des chèvres, et une porte derrière laquelle se trouve la voiture. Le joueur choisit une porte, et l’animateur en ouvre 98 qui cachent des chèvres. Le joueur a donc le choix entre conserver sa porte, qui a 1 chance sur 100 de camoufler la voiture, ou bien changer pour l’autre porte restante, qui a 99 chances sur 100 d’être la bonne. Si pour vous les chances sont toujours de 50/50, relisez ce paragraphe.

Le paradoxe de Newcomb

psychicUn medium surnommé « Le Prédicteur » est capable de prévoir les comportements humains de façon quasi infaillible. Il vous propose un jeu : devant vous se trouvent deux boites, A et B. Vous pouvez prendre le contenu des deux boites, ou juste celui de la boite B. La boite A contient 1000 €. Le contenu de la boite B est déterminé de la sorte : avant que le jeu ne commence, Le Predicteur essaye de deviner si le joueur prendra juste la boite B, ou les deux. Si le Predicteur pense que les deux boites seront prises, alors la boite B ne contiendra rien. SI le Predicteur pense que seule la boite B sera prise, alors cette dernière contiendra 1 000 000 €. Quand le jeu commence et que le joueur doit faire son choix, la prédiction a déjà été faite. Le million d’euros a déjà été mis ou non dans la boite par le Prédicteur, et ce dernier ne peut plus rien y changer. Avant le début du jeu, le joueur est conscient de toutes les règles, il sait que le contenu de la boite B dépend des prédictions du medium, et il connait la réputation d’infaillibilité de celui-ci.

Cette expérience de pensée imaginée par le professeur William Newcomb est un paradoxe parce qu’elle génère 2 stratégies en apparence aussi logiques l’une que l’autre, mais pourtant radicalement opposées : la première consiste à penser qu’il faut toujours prendre les deux boites sans se préoccuper de la prédiction. Si le medium a prédit que le joueur choisirait A et B et qu’il n’a rien mis dans la boite B, alors dans le doute il vaut mieux prendre les deux boites pour avoir au moins 1000 €. Et si le medium a prédit que le joueur choisirait seulement la boite B et qu’il a placé 1 000 000 € à l’intérieur, alors en prenant les deux boites on obtient 1 000 000 € plus 1000 €. En toute logique, prendre les deux boites est donc toujours la meilleure solution. « Pas du tout » disent les défenseurs de la seconde stratégie : il faut toujours prendre B. On sait que le medium ne se trompe quasiment jamais. Donc, si on prend les deux boites, il l’aura prévu presque à coup sur, et on ne gagnera que 1000 €. En revanche, si on prend seulement B, comme il l’aura certainement deviné, on recevra 1 000 000 €. Par conséquent, B est la meilleure solution. Dans un article de 1969, le philosophe Robert Nozick écrivit que face à ce problème, les gens semblent toujours se diviser en deux parties assez égales, chaque moitié estimant que la solution est évidente, et que les partisans de l’autre stratégie sont simplement des imbéciles (dites-moi de quel camp vous faites partie dans les commentaires).

Le paradoxe du voyageur temporel

88 mphSouvent utilisés en science-fiction, les paradoxes induits par le voyage dans le temps sont multiples. L’un des plus typiques est sans doute le paradoxe dit du « Grand père » : un voyageur temporel remonte le temps et tue son grand père biologique avant que celui-ci n’ait pu concevoir le père du voyageur. En conséquence de quoi le voyageur ne vient jamais au monde, et ne peut donc pas remonter dans le temps une fois adulte. Le paradoxe logique inhérent à cette expérience de pensée a été utilisé pour démontrer que le voyage dans le temps était impossible. Cependant, plusieurs solutions ont été proposées pour résoudre le problème, comme celle des univers parallèles : lorsqu’il tue son grand père, le voyageur génère un univers alternatif dans lequel il ne nait jamais, ce qui ne l’empêche pas d’exister dans son univers original. Un autre paradoxe temporel classique est le paradoxe dit de « prédestination », dans lequel le voyageur est pris dans une boucle causale. Quoi qu’il fasse, le voyageur ne peut rien changer à l’histoire, car ce qu’il fait dans le passé est, par définition, déjà arrivé. Son présent est en réalité déterminé par son voyage dans le temps. Le premier « Terminator » est une des nombreuses œuvres de fiction qui exploite le paradoxe de prédestination : Dans ce film, le soldat Kyle Reese est envoyé dans le passé pour protéger la mère de son supérieur, John Connor, avec laquelle il finit par concevoir John Connor lui-même, qui une fois adulte enverra Kyle Reese dans le passé protéger sa mère. Le paradoxe de prédestination se confond parfois avec le paradoxe « ontologique », qui concerne plus spécifiquement les objets et informations générés à partir d’une boucle temporelle : dans « Retour vers le futur » Marty McFly joue « Johnny B. Goode » lors d’un bal de promo en 1955. Chuck Berry entend la prestation par téléphone, et décide de s’inspirer du morceau. Cela provoque un paradoxe dans lequel « Johnny B. Goode » n’a en fait jamais été écrit par personne…

Plus d’infos :

email

221 commentaires pour “5 paradoxes qui retournent le cerveau”

  1. @Stormi : sans être condescendant, tu sais, lorsque plusieurs génération de mathématiciens ont travaillé sur ce sujet, il est bien présomptueux de croire que sa propre vision « déformé » est la bonne ;).

    En fait, l’illusion concerne le tirage proprement dit : tu as choisis ta première porte parmi 100. Tu as donc eu 1 chance sur 99 d’avoir la bonne. Quelque soit ton tirage et même si tu ne changes rien tu auras toujours une autre porte fermé. A ce stade, ne pas faire de tirage supplémentaire (garder ta porte) te fait garder la statistique initiale : comprendre même si il ne reste que 2 porte, tu as toujours 1 chance sur 99 de gagner (puisque c’est ton tirage initiale).

    Maintenant, si tu fais un deuxième tirage, il ne te reste que 2 portes, et une dans elle est bonne. Tu as donc là une chance sur 2 de gagner. Alors bien évidement, à ce stade là, si seul ces 2 portes te sont proposé, et si tu choisissais la première porte (celle initiale), tu aurais 1 chance sur 2 de gagner.
    Oui mais voilà, cette première porte n’est pas là par hasard, c’est toi qui l’a choisis parmis 100 autres. Tu as donc la probabilité : 1/2 * 1/100= 1/200 chance de gagner la voiture derrière celle-ci en probabilité pure. L’autre porte a juste 1/2 d’être la bonne. Et 1/2>>>1/200 . C’est expliqué dans l’article sur wiki !

  2. @Valentinose : quand tu travailles sur des paradoxes, il te faut forcément des hypothèses de départ ! Là, l’hypothèse qui a été mal formulé sur ce site, c’est
    ÉNONCÉ A : « tu ne connaîtras le jour de ton exécution qu’au moment ou le bourreau arrive » ajoutés à l’hypothèse
    ÉNONCÉ B : « l’exécution aura lieu le matin ». L’élément de « surprise » n’est pas réellement important.
    La corollaire de cet énoncé , c’est
    ÉNONCÉ A’ : « tu ne pourra pas prévoir AVANT que le bourreau n’arrive que l’exécution aura lieu le prochain matin » (sinon, l’énoncé A serait faux)

    A partir de là, le paradoxe est largement visible ! Si l’exécution a lieu un vendredi, alors l’énoncé A’ sera faux car tu pourra le prévoir le jeudi après midi (étant donné que c’est la dernière possibilité). Tu l’élimine donc. Mais ce faisant, tu peux éliminer de la même façon jeudi, puis mercredi, etc….

    Toute la problématique est dans l’énoncé, en effet. Ce n’est irrecevable mathématiquement uniquement parce que le juge a cru bon de faire un effet de style sans rien y connaitre aux mathématique ! L’énoncé peut être modifié (comme mit dans le wikipédia) pour rendre ce problème logique (du genre : le dimanche, il ne saura pas quel jour de la semaine ça sera fait)

  3. J’ai toujours trouvé le paradoxe de Monty hall pathétique.. Effectivement, statistiquement parlant et sur le papier, je suis d’accord, mais ce n’est pas pareil en vrai, ca relève du simple hasard. Moi aussi ca me retourne le cerveaux de réfléchir à ça, mais franchement, à partir du moment ou le présentateur ne laisse que deux portes fermé et que vous avez le choix entre les deux, le fait de changer n’apporteras pas plus de chance, juste 1 chance sur 2, c’est de la pure logique. J’ai déja entendu plein de personnes me dire que c’étais possible en vrai mais non. C’est juste logique que ca ne puisse pas marcher.

  4. Tu dis n’importe quoi, moi aussi ca me paraissait illogique, mais c’est tous simplement parce que le fait que le présentateur choissise une porte n’augmente pas la probabilité de la 1°porte choisi d’etre la bonne. Alors dis pas de stupidités

  5. Le paradoxe de Monty est vrai, non sur un seul essai, mais dans la durée.
    Si on joue 10 fois, on maximise ses chances en changeant.

  6. Je trouve que le paradoxe de Monty Hall nous montre la limite des résonnements mathématique.
    Ce résonnement peut en revanche ce montrer vrais dans le cas d’une répétition du jeux, si le joueur fait plusieurs parties. Mais pour une probabilité à un tirage unique, je doute que ce résonnement mathématique se trouve être le bon…

  7. Salut, même si l’article date un peu j’avais envie de réagir…

    Premièrement les paradoxes ne sont pas inutiles, le paradoxe du pendu par exemple est régulièrement utilisé en économie industrielle pour démontrer qu’une coopération entre firmes est impossible dans une modèle statique (et pas seulement pour les jeunes étudiants mais aussi pour les plus grands chercheurs de cette discipline, pensez à Jean Tirole le prix Nobel français de 2014).

    Deuxièmement, je vois dans les commentaires que beaucoup bute pour la compréhension du paradoxe de Monty Hall. La phrase importante est « L’animateur du jeu, Monty Hall, qui sait ce qui se trouve derrière les portes » c’est parce qu’il sait et donc qu’il n’ouvre pas la bonne porte que les probabilités ne s’égalisent pas… Pour ceux qui ont un peu de difficulté essayé chez vous, prenez 10 cartes, 9 noires et 1 rouges et disposez les devant vous en mémorisant la position de la rouge. Ensuite demandez à quelqu’un de choisir une carte puis retirez 8 cartes noires (vous connaissez leurs positions), vous pourrez alors voir que 9 fois sur 10 la carte rouge est celle que votre cobaye n’a pas choisi (c’est parfaitement logique puisque celle qui l’a choisi n’a qu’une chance sur 10 d’être rouge).

  8. Bonjour,

    Je ne suis pas d’accord avec l’exemple de Monty Hall. Qu’il y ait 3 portes où qu’il y en ait 100, à partir du moment ou le présentateur élimine toutes les mauvaises portes sauf une, il reste 50% de chance de bonne réponse. Le joueur joue deux fois, une première fois avec 33% de chances, la deuxième fois avec 50%, il ne verra le résultat qu’à la fin, et seule la deuxième réponse compte pour gagner. Donc seul le deuxième choix compte, même s’il est le même que le premier choix.

    Au moment du deuxième choix, on donne au joueur l’illusion que les chances se sont resserrées, le poussant à revoir son choix. Et au moment de dévoiler la porte contenant la voiture, on montre au joueur le résultat de son choix final, mais aussi le résultat de son premier choix, celui qui ne compte pas, pour jouer avec ses émotions.

    Les chèvres étant identiques, si le premier choix du joueur est une chèvre, les autres chèvres sont éliminées et la chèvre qu’il a choisie se retrouve en deuxième partie.
    A la différence du 50/50 de J.P. Foucault, où les 3 mauvaises réponses sont différentes, et ou le premier choix du joueur peut se retrouver éliminé lors du deuxième choix: il a réellement une information qui lui permet d’affiner ses chances de 25% à 50%.

    Dans le cas de Monty Hall, les chances du deuxième choix sont de 50% depuis le départ et quelque soit le premier choix.

  9. Même si on peut au final se tromper, il faut mieux avoir une chance sur 2 de faire le bon choix qu’une chance sur 3… Sur un tirage unique, cela créé un avantage négligeable, mais sur plusieurs cela devient un vrai avantage stratégique. Dans tous les cas mieux vaut opter pour cette solution. 🙂

  10. trois cas possibles:
    1/on choisit en premier la bonne porte, du coup au final avec la stratégie en question on perd la partie. 0
    2/on choisit la mauvaise, il élimine l’autre mauvaise, et on prend la bonne. +1
    3/ on prend l’autre mauvaise, il élimine l’autre, et on fait le bon choix. +1

    Donc sur trois situations possibles on a avec cette stratégie 2 chances sur trois de gagner…

  11. j’ai vraiment eu du mal à comprendre le paradoxe de Monty Hall parce que j’étais complètement buté mais en faite c’est complètement logique. Ceux qui n’ont toujours pas compris relisez le jusqu’à ce que vous perceviez l’évidence de la chose 🙂

  12. C est maintenent la reference concernant le sujet, personnellement, j en redemande merci.

  13. Salut !
    Je ne puis m’empêcher de grincer des dents en lisant des choses comme:
    Je trouve que le paradoxe de Monty Hall nous montre la limite des résonnements mathématique.
    J’ai toujours trouvé le paradoxe de Monty hall pathétique..

    Moi je n’ai jamais eu de problème avec ce paradoxe et quand nous avons fait un exercice de probabilités au lycée j’ai eu intuitivement la solutionnais j’ai réussi à mettre des mots dessus:

    Il y a 2 chances sur 3 de vous tromper au premier choix, donc en changeant de porte chacun de ses deux scénarios vous amènera sur la porte gagnante (comme la troisième est éliminée).
    Je vous conseille de faire l’expérience du paquet de cartes pour vous en convaincre ! 2 chances sur 3 de gagner en changeant de porte !

    Ce n’est pour moi pas un paradoxe car c’est censé dire quelque chose et son inverse alors que là c’est simplement un résultat surprenant pour certains

  14. Bonjour!
    Pour Monty Hall, ça se vérifie simplement en faisant des simulations informatiques 😉
    http://lmrs.univ-rouen.fr/Vulgarisation/Hall/hall.html

  15. J’étais plutôt dans le raisonnement 50/50, mais grçace au commentaire de Jibe, j’ai bien compris le raisonnement. Je vais tenter de l’expliquer a mon tour pour ceux qui butent la dessus.
    Avec 100 portes:
    – tu en choisi une, ce qui te donne 1% de chance de trouver la bonne, ce qui est assez faible, on pourrait donc penser que tu as choisi la mauvaise porte. (99% de chance de tomber sur une mauvaise porte)
    – le présentateur ouvre 98 mauvaises portes
    En considérant que lors de ton 1er choix tu ai choisi la mauvaise porte, il vaut mieux changer de porte lors de son 2eme choix, a moins que tu ai choisi la bonne porte des le 1er choix…

  16. J’aime beaucoup le paradoxe ontologique (pour le paradoxe temporel). J’y ajouterais celui du film « Quelque part dans le temps ». Le héros reçoit une montre de la part d’une dame âgée. Il remonte le temps, retrouve cette femme (jeune) et lui laisse la montre, montre qu’elle lui redonnera des années plus tard. Mais au final, d’où vient la montre ? Dans cette boucle, elle n’a pas été fabriqué, pourtant elle existe.

  17. Bon, pour tous les adorateurs du 1/2, il y a un site qui s’appelle wikipédia… non sérieusement, la réponse est bien 1/3, 2/3, le fait qu’il y a 3 portes au début change tout : le présentateur change de porte à fermer en fonction de celle que vous prenez, faites un arbre de probabilité vous verrez.

  18. Je pense avoir compris la division des camps quant aux probabilités de gagner. J’aimerais, s’il y en a qui lisent ceci, avoir leurs avis. Gagner ce jeu est initialement d’une chance sur trois mais puisqu’il y a une seconde possibilité de choix après dévoilement d’une mauvaise réponse il est d’une chance sur deux. Même s’il y avait 100 portes il ne resterait toujours qu’un choix sur 2 propositions et c’est ce choix final qui compte, c’est là que débute le jeu, à la fin ! Toutes les règles précédentes ne comptent pas. Les simulations informatiques tiennent compte de trois choix initiaux alors qu’il n’y en a que deux…non ?

  19. Afin d’être plus complet quant à ma publication précédente, je tiens à ajouter que Wikipédia et les simulations tiennent compte des règles dans leur intetegralité et dans ce cas c’est statistiquement vrai .Pour ma part je tiens compte du fait que le jeu ne commence que lors du choix final et ça change tout. Si un candidat Lambda se présentait à la place du joueur à ce moment là il aurait une chance sur deux de gagner. CQFD…

  20. Je complète encore afin de dire que j’ai tort et raison à la fois. Je m’explique. S’il y avait cent portes il aurait une chance sur cent de trouver la bonne ce qui est peu mais le présentateur élimine 98 portes perdantes donc effectivement le candidat a une chance sur 99 de gagner en conservant son choix mais si une perte de mémoire survient à ce moment là, il lui reste une chance sur deux de trouver la bonne. Le bon raisonnement est effectivement de changer son choix.

  21. Dans le paradoxe du pendu, si l’on tient compte de la certitude du prisonnier de ne pas être exécuté après avoir éliminé tous les jours de façon logique, il accroît le phénomène de surprise totale. Donc quelque soit le jour il sera surpris puisqu’il est convaincu de ne pas être pendu.